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ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

ECUACIONES SIMPLES 

Ejercicios     

-11x+12   =   144
-11x   =   144-12    
-11x   =   132
x   =   132/-11
x   =   -12

  Comprobación   

-11(-12)+12   =   144
132+12   =   144
144   =   144

Ejercicio 3       
-8x-15   =   -111
-8x   =   -111+15    
-8x   =   -96
x   =   -96/-8
x   =   12

   Comprobación    

-8(12)-15   =   -111
-96-15   =   -111
-111   =   -111

Ecuaciones fraccionarias de primer grado

P r o c e d i m i e n t o

 Lo primero que debemos lograr es convertir las ecuaciones fraccionarias en sus equivalentes enteras, luego resolver la ecuación entera. Para lo cual procedemos de la siguiente manera:

1. Hallamos el M.C.D (mínimo común múltiplo de los denominadores). Si es preciso, se factorizan los denominadores.

 2. Multiplicamos cada miembro de la igualdad por el M.C.D

 3. Se simplifican cada uno de los términos, obteniendo de esta manera una ecuación entera, y equivalente a la primitiva.

4. Los términos que tienen la incógnita x se escriben en el miembro izquierdo de la ecuación y, los términos independientes, en el derecho y, teniendo presente que  cuando pasamos un término de un miembro a otro lo hacemos con signo cambiado

 5. Se reducen los términos semejantes

 6. Se simplifica.

 

SISTEMA DE ECUCACIONES LINEALES METODO SUMA Y RESTA

El objetivo de este procedimiento es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una sola variable.

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de suma y resta se siguen los siguientes pasos:

1. Re exprese las ecuaciones de tal manera que tengan la forma ax + by = c.

2. Multiplique una o ambas ecuaciones por una constante, de modo que al sumar el producto con la otra ecuación se elimine una de las variables.

3. Sume las ecuaciones mencionadas en el paso anterior, resultando una ecuación de una variable.

4. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

5. Se sustituye el valor encontrado en la ecuación no utilizada aún, para encontrar la otra variable.

EJERCICIOS:

Ejemplo:

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

3y = -2x + 6
5x = 4y - 8
1. Re exprese las ecuaciones de tal manera que tengan la forma ax + by = c.
2x + 3y = 6
5x - 4y = -8 

2. Multiplique una o ambas ecuaciones por una constante, de modo que al sumar el producto con la otra ecuación se elimine una de las variables.

Multiplicamos la primera por (-5 ) y la segunda por ( 2 ) para obtener ( -10x ) y (10x ) y al sumarse se eliminan. -5 [2x + 3y] = 6 g -10x - 15y = -30
2 [5x - 4y] = -8 g 10x - 8y = -16


3. Sume las ecuaciones mencionadas en el paso anterior, resultando una ecuación de una variable.

-10x - 15y = -30
10x - 8y = -16
- 23y = -46

4. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

y = -46 = 2
-23

5. Se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones originales, para encontrar la otra variable.

5x = 4( 2 ) - 8

5x = 8 - 8

5x = 0

x = 0

La solución es la pareja ordenada ( 0, 2 )

METODO DE SUSTITUCION

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita  por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita  en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado  , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos  , con lo que el sistema queda ya resuelto.

EJERCICIO: