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Expresiones Algebraicas y Polinomios

Definición:

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí­ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí­ces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

       o      

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axⁿ, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo.   Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio	binomio	trinomio

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

Polinomios

Definición:   Un polinomio en x es una suma de la forma: an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0 Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un numero real. Si an es un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n.

El coeficiente a de la mayor potencia de x es el coeficiente principal del polinomio.

Ejemplos de polinomios:

Ejemplo	Coeficiente principal	Grado
	3	4
	1	8
	-5	2
8	8	0
	7	1

Ejemplos de expresiones que no son polinomios:

               a)                                           b)                             c)

En el primer ejemplo el exponente de es negativo   contradiciendo la definición de polinomio, de igual forma en el ejemplo c donde el exponente de   no es entero.

En el ejemplo b tenemos una expresión racional o fraccionaria con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el siguiente si el polinomio del denominador no es el   constante o de grado cero, la expresión no es un polinomio. Recuerde que los exponentes deben ser enteros positivos.

Gráficas

Una fórmula polinómica tiene la forma

y = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ··· + a₂ x² + a₁ x + a₀.

En la aplicación de abajo, que sigas los siguientes pasos:

1. Aprieta la caja que dice lineal para ver la gráfica de un polinomio de grado 1 (una fórmula lineal). Nota que la gráfica cruza el eje de x una vez. El valor de x donde la gráfica cruza el eje de x se llama una raíz o cero de la gráfica.  ¿Cuál es la raíz inicial de la gráfica? Juega con los botones para ver como la raíz cambia cuando las coeficientes cambian. Después aprieta la caja que dice lineal de nuevo.
2. Aprieta la caja que dice cuadrática para ver la gráfica de un polinomio de orden 2 (una fórmula cuadrática). Mover los botones para que a = 1b = 2 y c = 0. Debes ver que la gráfica tiene dos raí­ces en x = -1 y x = 0. Mover el botón para que c = 1 y la gráfica tiene solamente una raí­z en x = -1. Mueve el botón para que c = 2 y la gráfica no tiene ninguna raí­z. Es decir que la gráfica no cruza el eje de x. Un polinomio de orden 2 puede tener 0, 1 o 2 raí­ces. Juega con los botones para ver como la raí­z cambia cuando los coeficientes cambian. Después aprieta la caja que dice cuadrática de nuevo.
3. Aprieta la caja que dice cúbica para ver la gráfica de un polinomio de orden 3 (una fórmula cúbica). Un polinomio de orden 3 puede tener 1,2 o 3 raí­ces. Juega con los botones para ver si puede encontrar coeficientes para que haya 1, 2 y 3 raí­ces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice cúbica de nuevo.
4. Aprieta la caja que dice cuártica para ver la grafica de un polinomio de orden 4 (una fórmula cuártica). Un polinomio de orden 4 puede tener 0, 1, 2, 3 o 4 raí­ces. Juega con los botones para ver si puede encontrar coeficientes para que haya 0, 1, 2, 3 y 4 raí­ces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice cuártica de nuevo.
5. Aprieta la caja que dice quí­ntica para ver la gráfica de un polinomio de grado 5 (una fórmula quí­ntica). Un polinomio de grado 5 puede tener 1, 2, 3, 4 o 5 raí­ces. Juega con los botones para ver si puedes encontrar coeficientes para que haya 1, 2, 3, 4 y 5 raí­ces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice quí­ntica de nuevo.